FoodPro Preloader

Hvem oppdaget Mandelbrot-settet?


Redaktørens notat: Denne artikkelen opprinnelig dukket opp i april 1990-utgaven av , under tittelen "Mandelbrot Set-To ." Vi legger inn det nå for å sammenfalle med vår rapportering på en diskusjon i denne uken av Benoit Mandelbrot ved Columbia University på fraktaler og finansmarkeder. Fras

Redaktørens notat: Denne artikkelen opprinnelig dukket opp i april 1990-utgaven av, under tittelen "Mandelbrot Set-To ." Vi legger inn det nå for å sammenfalle med vår rapportering på en diskusjon i denne uken av Benoit Mandelbrot ved Columbia University på fraktaler og finansmarkeder. Fraseringen av noen referanser til datoer har blitt forandret, i parentes, for klarhet.

Hvem oppdaget Mandelbrot-settet? Dette er ikke et triks spørsmål - eller en triviell. Settet er blitt kalt (i dette bladet) "det mest komplekse objektet i matematikk." Det er diskutabelt, men det er nesten sikkert det mest berømte objektet. Det uendelig intrikate datastyrte bildet av settet fungerer som et ikon for det voksende feltet kaosteori og har tiltrukket enorm offentlig oppmerksomhet.
Settet er oppkalt etter Benoit B. Mandelbrot, en matematiker ved IBM Thomas J. Watson Research Center. Han er best kjent for å samle uttrykket fraktal for å beskrive fenomener (som kystlinjer, snøflak, fjell og trær) hvis mønstre gjentar seg i mindre og mindre skalaer. Mandelbrot hevder at han og han alene oppdaget Mandelbrot-settet - som har fraktale egenskaper - for omtrent ti år siden. Han refererer til bildet som sin "signatur".
Tre andre matematikere har utfordret hans krav. To opprettholder at de selvstendig oppdaget og beskrev settet på omtrent samme tid som Mandelbrot gjorde. En tredjedel hevder at hans arbeid på settet ikke bare førte til Mandelbrots innsats, men også bidratt til å veilede dem. Disse påstandene har lenge sirkulert i matematikksamfunnet, men har bare nylig blitt oppdaget på trykk.
Matematikere er ikke kjent for prioriterte kamper, men Mandelbrot-en selvbeskyttet "svart sau" - har ofte stødt hodene med kolleger. "Var det ikke for hans personlighet", sier Robert L. Devaney fra Boston University, som sier at han beundrer Mandelbrots arbeid, "det ville ikke være noen kontrovers."
De vitenskapelige innsatsene er også høye. Selv de som håner settets popularitet, anerkjenner sin matematiske betydning. Dennis P. Sullivan fra City University of New York kaller det en "smeltedigel" for å teste ideer om oppførselen til dynamiske (eller ikke-lineære, eller komplekse eller kaotiske) systemer. "Det er egentlig ganske grunnleggende, " sier han.
En del av sjarmen til settet er at den springs fra en så enkel ligning: z 2 + c . Begrepene z og c er komplekse tall, som består av et imaginært tall (et flertall av kvadratroten av -1) kombinert med et reelt tall. Man begynner med å tilordne en fast verdi til c, la z = 0 og beregne utgangen. En gjenkjenner eller gjentager gjentatte ganger likningen, og erstatter hver ny utgang for z. Noen verdier av c, når de er plugget inn i denne iterative funksjonen, gir utganger som raskt svever mot uendelig. Andre verdier av c produserer utganger som evig skitter om i en viss grense. Denne sistnevnte gruppe av c 's, eller komplekse tall, utgjør Mandelbrot-settet.
Når det er tegnet på en graf som består av alle komplekse tall, grupperes medlemmene i en særegen form. Fra det fjerne er det ikke så mye å se på: det har blitt liknet med et svulstrykt hjerte, en bille, en dårlig brent kylling og en krøllete figur åtte på sin side.
En nærmere titt viser at grensene til settet ikke danner skarpe linjer, men ser ut til å skinne som flammer. Gjentatt forstørrelse av grensene plukker en inn i en bunnløs fantomagoria av barokkbilder. Noen former, som den grunnleggende hjerteformen, holder seg gjentagende, men alltid med subtile forskjeller.
I dag kan nesten alle med en personlig datamaskin "oppdage" settet. Men [i 1979] var datamaskiner mye mindre kraftige, og få matematikere tilknyttet datamaskiner med alvorlig matematikk.
Selv Mandelbrot har beskrevet sine første foreløpige skritt mot settet i 1979 som "mindless fun". Han begynte å bruke en datamaskin for å kartlegge Julia-settene, som genereres ved å koble komplekse tall til iterative funksjoner. Setningens spesielle egenskaper ble beskrevet så tidlig som 1906 av den franske matematikeren Pierre Fatou. De ble oppkalt senere for Gaston Julia, som med hell hevdet at hans arbeid på settene noen dusin år senere hadde større betydning enn Fatou. Mandelbrot, som ble født [i 1924] i Polen, hadde lest begge menns arbeid og studert under Julia i 1940-tallet.
Mandelbrots tidlige datamaskinbilder ser ut til å bekrefte sin mistanke om at Julia-settene har fraktalegenskaper. Han sier at han begynte å produsere gjenkjennelige bilder av Mandelbrot-settet - som på en måte er en generalisert versjon av alle Julia-settene i slutten av 1979. Mandelbrot viste etterfølgende bilder av settet og utdypet på sin betydning i taler, papirer og bøker. Denne oppdagelsen og hans andre arbeider i fraktaler ble også feiret i media, i mange bøker (spesielt den beste selgeren Chaos, av den tidligere New York Times- reporteren James Gleick) og i IBM-annonser.
Ingen benekter at Mandelbrots bilder og beskrivelser anspore andre matematikere til å studere settet. To fremtredende eksempler er John H. Hubbard fra Cornell University og Adrien Douady fra University of Paris. På begynnelsen av 1980-tallet - i løpet av å påvise at små "øyer" rundt hovedkroppen av settet er knyttet til det ved uendelige filamenter - de kalt setet etter Mandelbrot. "Mandelbrot var den første som produserte bilder av det, ved hjelp av en datamaskin, og begynte å gi en beskrivelse av det, " skrev Douady i 1986.
Douady sier imidlertid at han og andre matematikere begynte å tro at Mandelbrot tok for mye kreditt for arbeid gjort av andre på settet og i beslektede områder av kaos. "Han elsker å sitere selv, " sier Douady, "og han er veldig motvillig til å sitere andre som ikke er døde."
[Høsten 1989] sendte Steven G. Krantz fra Washington University noen av disse klagene i Mathematical Intelligencer, en kvartalsvis journal. Hovedpunktet i sin artikkel var at fraktaler, datamaskingenerert grafikk og andre "populære" matematiske fenomener knyttet til Mandelbrot har bidratt med lite av substans til matematikk, spesielt i forhold til publisiteten de har fått.
Denne oppfatningen - og dens motsatte, som innebærer at Mandelbrots "populære" arbeid har vært en stimulerende kraft i matematikk - hadde blitt uttalt før. Krantz introduserte imidlertid et nytt element i debatten, ved å si at Mandelbrot-settet "ikke ble oppfunnet av Mandelbrot, men eksplisitt i litteraturen et par år før begrepet" Mandelbrot set "ble laget." Han citerte et papir av Robert Brooks og J. Peter Matelski utgitt i en 1978-konferanse på Stony Brook, NY
Sikkert nok inneholder papiret den berømte z 2 + c- formelen og en rå, men umiskjennelig datamaskinutskrift av settets grunnleggende bilde. Brooks og Matelski sier at de ikke faktisk presenterte papiret på 1978-konferansen, men de sirkulerte det som et preprint tidlig i 1979. Brooks, som nå er ved University of California i Los Angeles, presenterte også papiret ved Harvard University i våren det året. (Mandelbrot, som holdt en avtale på Harvard da, sa han ikke hørte Brooks snakke og så bare papiråret senere.) Papiret ble imidlertid ikke publisert før tidlig i 1981.
I en tilbakemelding til Krantzs artikkel, kalt "noen" fakta "som fordømmer seg ved undersøkelsen, bemerket Mandelbrot at han" fullt ut publisert "på Mandelbrot-settet før Brooks og Matelski gjorde. (Mandelbrots papir, publisert i desember 26, 1980, Annals of the New York Academy of Sciences, har en funksjon og et bilde som er varianter av de som nå er knyttet til Mandelbrot-settet, som Mandelbrot ikke publiserte til 1982.)
Mandelbrot foreslo også at selv om Brooks og Matelski's publikasjon hadde gått foran hans, kunne de fortsatt ikke betraktes som oppdagere av settet, fordi de ikke satte pris på dens betydning. "De var nær noe som skulle vise seg spesielle, men de tenkte ikke på bildet, " skrev han.
Brooks retorted i følgende utgave av Intelligencer: "Jeg vet ikke hvordan han kan være så sikker på hva vi tenkte og hva vi ikke gjorde." Brooks sier at han respekterer Mandelbrots prestasjoner som en popularizer og ikke motsetter seg at setet er oppkalt etter ham. "Det er mer fornuftig enn" tingen med den store kardioiden ", sier han og husker hvordan han og Matelski hadde henvist til settet. "Jeg ønsker bare at Mandelbrot var litt mer herlig."
Matelski, som jobber ved Hartford Graduate Center i Connecticut, bemerker at verken han eller Brooks ba Krantz om å kreditere dem etter å ha oppdaget Mandelbrot-settet. (Krantz bekrefter at en annen matematiker gjorde oppmerksomheten til papiret sitt.) Men nå har problemet blitt offentlig, sier Matelski at han og Brooks skal anerkjennes som medforskere med Mandelbrot.
"Du trenger ikke å utnytte mineralressursene på et kontinent for å oppdage det, " sa Matelski i Hartford Courant, en avis som rapporterte om tvisten i desember [1989]. "Alt du trenger å gjøre er å knele deg ned og kysse stranden."
Hubbard, som er en av verdens eksperter på Mandelbrot-settet, har gjort en subtilt forskjellig fordomsfordring. I 1976, forklarer han, begynte han å bruke en datamaskin for å kartlegge sett av komplekse tall generert av en iterativ prosess kjent som Newtons metode. Hubbard sier at han ikke skjønte det da, men han hadde funnet en annen måte å generere Mandelbrot-settet på.
I slutten av 1978 nærmet en av Hubbards studenter, Frederick Kochman, Mandelbrot på en konferanse og viste ham Hubbards bilder. Mandelbrot "virket ikke veldig interessert, sier Kochman. Men kort tid etter sendte Mandelbrot et brev til Hubbard og inviterte IBM til IBM for å diskutere sitt arbeid. I brevet, som Hubbard holdt, skrev Mandelbrot: "Når jeg prøvde Fatou og Julia, hadde jeg tenkt på å gjøre disse tingene selv, men hadde ikke mønstret motet. Likevel kan jeg hevde at jeg ventet på bildene dine i lang tid lang tid."
Hubbard sier at han gikk til IBM tidlig i 1979, og der, fortalte Mandelbrot hvordan man programmerte en datamaskin for å plotte utdataene fra iterative funksjoner. Hubbard innrømmer at han ikke satte pris på den fulde betydningen av sine egne bilder da, og at de bare viste deler av Mandelbrot-settet. Han innrømmer også at Mandelbrot utviklet en overlegen metode for å generere bilder. Ikke desto mindre sier Hubbard at han var og fortsetter å være "rasende" at Mandelbrot ikke ga ham kreditt i 1980-papiret og senere skrifter. "Det var et brudd på matematisk etikk, " hevder han.
Mandelbrot husker å se "en imponerende tidlig tegning av et Julia-sett" av Hubbard, men benekter at det bidro til sin egen oppdagelse. Som svar på Hubbard og Douady's anklage for at han er gjengitt i å gi kreditt, sier Mandelbrot at han også er blitt anklaget for overkasting. Han legger til at hans manglende evne til å nevne den tidlige oppdagelsen av Brooks og Matelski, kunne ha spart dem "sperring" for "deres manglende evne til å gjøre noe med det."
Hva med forslaget til Hubbard, Matelski og Brooks at den virkelige oppdageren av Mandelbrot-settet er Fatou, hvem var den første til å definere settet og spekulere om egenskapene sine? Brooks foreslår selv at "hvis Fatou hadde hatt tilgang til moderne databehandlingsanlegg, kunne han ha og ville ha tegnet stort sett de samme bildene som Matelski, Mandelbrot og jeg gjorde." Mandelbrot kaller slike spekulasjoner meningsløst og insisterer på at Fatous definisjon av Mandelbrot-settet ikke utgjør oppdagelse. "Definisjonen teller ingenting, " sier han. "Du må si hvorfor noe er viktig."
Andre matematikere som er kjent med saken, er litt forvirret. «Det virker rart for meg at det burde være slik oppstyr, » sier John Milnor fra Princeton University. Han hevder at verken Brooks og Matelski eller Mandelbrot gjorde noe matematisk viktig. "Hubbard og Douady er de første som virkelig får noen skarpe resultater, " sier han, "og forteller oss noe om settet."
Tvisten om forrang, Milnor foreslår, kan komme fra et sammenstøt mellom ulike matematiske kulturer. "I ren matematikk, " forklarer han, "det er en tradisjon for å la andre rose din jobb." Mandelbrot, noterer han, er i anvendt matematikk.
"Matematiske utviklinger foregår ikke enkeltvis, " forteller William P. Thurston fra Princeton, "og det er ganske vanlig at ting ikke er oppkalt etter at den første personen har utviklet dem. Mandelbrot-settet følger dette mønsteret." Han foreslår imidlertid at ingen ville begrudge å anerkjenne Mandelbrots prestasjoner hvis han ville motta seg mer selv. "Han kan være litt mer storartet, " sier Thurston.
Sullivan, som også har blitt anerkjent for sin studier av Mandelbrot-settet, kaller seg "slags forsvarer av Mandelbrot." Mandelbrot fortjener å ha settet oppkalt etter ham, sier Sullivan, fordi hans innsats brakte settet til oppmerksomheten til både offentligheten og det rent matematiske samfunnet.
Det faktum at det bare var "tilfeldig" at setet senere viste seg å være matematisk signifikant, sier Sullivan, på ingen måte reduserer Mandelbrots prestasjon. "Det er det fantastiske ved matematikk, " legger han til. "Selv amatører kan gjøre viktige bidrag."
Så hvem oppdaget Mandelbrot-settet? Sullivan kaller spørsmålet meningsløst. Kanskje. Sheldon Axler, redaktør for Intelligencer, planlegger å publisere et brev som peker på at den ungarske matematikeren F. Riesz rapporterte om arbeid knyttet til settet i 1952.
Det endelige svaret, hvis det forfølges, ser ut til å falle i en uklarhet av stadig finere detaljer.

Kreftvaksin: Ser utover tumorstørrelseHvorfor kom orkanen Michael opp til kategori 4 så fort?Astronomer Overrasket av Stor Space Rock Mindre Tett enn VannPrediktiv modellering advarer drivere en time før syltetøy forekommerBruk det og miste det: Det påvirker effekten av amerikansk forbruk på miljøetShock-Wave Showdown i det gamle vestenTordenvær hjelper med å bringe ozon ned til jordenElastisk klutmateriale gjør objekter "utilgjengelige"