Matematikk 'Nesten århundre-gamle partisjoner Enigma Spawns Fractals Solution


For en som døde i en alder av 32, etterlot den i stor grad selvlærte indiske matematikeren Srinivasa Ramanujan en imponerende arv av innsikt i teorien om tall - inkludert mange påstander om at han ikke støttet med bevis. Et av hans mer gåtefulle uttalelser, laget for nesten et århundre siden, om å telle antall måter et tall kan uttrykkes som sum, har nå hjulpet forskere med å finne uventede fraktalstrukturer i teltlandskapet. Ramanuja

For en som døde i en alder av 32, etterlot den i stor grad selvlærte indiske matematikeren Srinivasa Ramanujan en imponerende arv av innsikt i teorien om tall - inkludert mange påstander om at han ikke støttet med bevis. Et av hans mer gåtefulle uttalelser, laget for nesten et århundre siden, om å telle antall måter et tall kan uttrykkes som sum, har nå hjulpet forskere med å finne uventede fraktalstrukturer i teltlandskapet.
Ramanujans uttalelse omhandlet det sviktende enkle konseptet av partisjoner - de forskjellige måtene som et helt tall kan deles inn i mindre tall. Ken Ono fra Emory University og hans medarbeidere har nå funnet ut nye måter å telle alle mulige partisjoner på, og fant ut at resultatene danner fraktaler, nemlig strukturer der mønstre eller former gjentar identisk på flere forskjellige skalaer. "Fraktalteorien vi har oppdaget, svarer helt til Ramanujans uhyrlige uttalelse, sier Ono. Problemene hans sprakk ble sett på som hellige grader av tallteori, og dens løsninger kan ha konsekvenser gjennom matematikk.
En måte å tenke på partisjoner på er å vurdere hvordan et sett av noen (skillebare) objekter kan deles inn i delgrupper. For eksempel, hvis du trenger å lagre fem bokser i kjelleren, kan du ha dem alle sammen i en enkelt stabel; legg dem individuelt på gulvet som fem undergrupper som inneholder en boks stykke; sett dem i en haug eller en del av tre pluss en haug med to; og så videre - du har totalt 7 muligheter:
5, 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 3, 1 + 4, 1 + 2 + 2 eller 2 + 3.
Matematikere uttrykker dette ved å si p (5) = 7, hvor p er kort for partisjon. For tallet 6 er det 11 alternativer: p (6) = 11. Etter hvert som tallet n øker, begynner p (n) snart å vokse veldig fort, slik at for eksempel p (100) = 190.569.292 og p (1000) er en 32-tallet tall. (The WolframAlpha kunnskapsmotor beregner partisjoner for tall så store som en million.)
Konseptet er så grunnleggende og grunnleggende at det er sentralt i tallteori og dukker opp i de fleste andre felt av matematikk også. Matematikere har lenge kjent at sekvensen av tall som er laget av p (n) 's for alle verdier av n, er langt fra å være tilfeldig. Ramanujan og andre etter ham fant formler for å forutsi verdien av noe p (n) med god tilnærming, for eksempel. Og generelle "rekursive" formler har lenge eksistert for å beregne p (n), men de øker ikke beregningene veldig mye fordi du finner p (n) du må først vite p (n - 1), p (n - 2) ) og så videre. "Det er upraktisk selv ved hjelp av en datamaskin i dag, " sier Ono.
En direkte formel for å beregne den nøyaktige verdien av p (n) kan i prinsippet være raskere. En annen fordel med en direkte formel ville være evnen til å sammenligne verdier av p (n) for vilkårlige store ns og dermed å bevise eksistensen av mønstre, for eksempel egenskaper som gjentar langs en hel uendelig sekvens.
Ramanujans opprinnelige uttalelse stammer faktisk fra observasjon av mønstre, som det faktum at p (9) = 30, p (9 + 5) = 135, p (9 + 10) = 490, p (9 + 15) = 1, 575 og så videre er alle delbare med 5. Merk at her n er kommet med intervaller på fem enheter.
Ramanujan foreslo at dette mønsteret skulle fortsette for alltid, og at lignende mønstre eksisterer når 5 er erstattet av 7 eller 11-det er uendelige sekvenser av p (n) som alle er delbare med 7 eller 11, eller som matematikere sier, der Modulen er 7 eller 11.
Deretter fortsatte Ramanujan i nesten orakulær tone: "Det ser ut til å være tilsvarende egenskaper, " skrev han i 1919-papiret, "hvor modulene er 5, 7 eller 11 ... og ingen enkle egenskaper for hvilken som helst modul primere annet enn disse tre. " (Primer er hele tall som kun er delbare for seg selv eller med 1.) Således skal det for eksempel være formler for en uendelighet av ns atskilt med 5 ^ 3 = 125 enheter, og sier at de tilsvarende p (n) skal alle kan deles med 125.
I årene siden var matematikere i stand til å bevise de enkle sakene basert på Ramanujans uttalelse. Når det gjelder hva "ingen enkle egenskaper" kunne bety, var det noen som gjette - til nå.
I samarbeid med Jan Hendrik Bruinier fra Darmstadt Technical University i Tyskland har Ono utviklet den første nøyaktige formelen for å beregne p (n) for noen n. Og i et eget papir med Zachary A. Kent, også på Emory, og Amanda Folsom fra Yale University, har han identifisert mønstre som nok ikke Ramanujan ikke kunne ha drømt om.

Mønstrene knytter bestemte sekvenser av p (n) der n er separert av krefter av et primtal utover 11. For eksempel, ta neste prime opp, 13 og sekvensen p (6), p (6 + 13), p (6 + 13 + 13) og så videre. Onos formler knytter disse verdiene til de av p (1, 007), p (1, 007 + 13 ^ 2), p (1007 + 13 ^ 2 + 13 ^ 2) og så videre. De samme formlene knytter den sistnevnte sekvensen til en der n er kommet med intervaller på 13 ^ 3 og så videre for større og større eksponenter. (Formlene er litt mer subtile enn bare å si at p (n) er multipler av en prime.) En slik gjentagelse er typisk for fraktalstrukturer som et Mandelbrot-sett [ se videoen ovenfor ], og er tallteorien tilsvarende zooming inn i en fraktal, forklarer Ono.
Ono avslørte funnene 21. januar på et spesielt innkalt symposium på Emory. Ved den ettermiddagen hadde nyheten gjort bølger over matteverdenen, og hans innboks hadde fylt 1500 e-postmeldinger fra matematikere, journalister og "cranks", sier han. (Ono, Folsom og Kent skrev sitt bevis på nettsiden til American Institute of Mathematics og sendte også den til en journal. Fullstendig bevis på Ono og Bruiniers nye formel er fortsatt skrevet opp, sier Ono.)
"Ken er et fenomen, " sier George E. Andrews, en partitionsekspert ved Pennsylvania State University. Den nye fraktalvisningen til partisjoner, tilføyer Andrews, "gir en overbygning som ingen hadde forventet for noen få år siden."
Har Ono et al. Funn har noen praktisk bruk? Vanskelig å forutsi, sier Andrews. "Ofte dyp forståelse av underliggende, rent matematikk tar en stund å filtrere inn i applikasjoner." Tidligere metoder utviklet for å forstå partisjoner, har senere blitt brukt på fysikkproblemer som teorien om den sterke atomkraft eller entropi av sorte hull.
I mellomtiden er matematikere igjen for å tenke over Ramanujans sinn. Mange av hans påstander, Ono påpeker, har vist seg å være feil, men hans arbeid belyser fortsatt så mye av hvilke teoretikere som studerer i dag. "Alt dette som vi studerer akkurat nå for en gal måte, ble forventet av Ramanujan, " sier han.
"Han var et magisk geni, " tilføyer Andrews, "og resten av oss skulle ønske vi visste hvordan han kunne se så dypt."

Når det kommer til fotosyntese, utfører planter kvantumberegningOceanic Dead Zones Fortsett å spreAstronautene tar første biter av salat vokst i rommetSoaring City SlickersVil fornyet interessen for kjernefysisk kraft gjenopplive uranindustrien?Hva er neste for NASAs nye astronautklasse?Gå FjerdeTopp Sci / Tech Gaver 2003