FoodPro Preloader

Matematisk skjønnhet: En Q & A med Fields Medalist Michael Atiyah


Michael Atiyah Philipp Ammon for Quanta Magazine Fra Quanta Magazine ( finn originalhistorien her ). Til tross for Michael Atiyahs mange anerkjennelser, er han en vinner av både Fields og Abel-premiene for matematikk; en tidligere president av Royal Society of London, det eldste vitenskapelige samfunnet i verden (og en tidligere president av Royal Society of Edinburgh); en tidligere mester i Trinity College, Cambridge; en ridder og et medlem av den kongelige fortjeneste; og i hovedsak Storbritannias matematiske pave-han er likevel kanskje mest passende beskrevet som en matchmaker.

Michael Atiyah Philipp Ammon for Quanta Magazine

Fra Quanta Magazine ( finn originalhistorien her ).

Til tross for Michael Atiyahs mange anerkjennelser, er han en vinner av både Fields og Abel-premiene for matematikk; en tidligere president av Royal Society of London, det eldste vitenskapelige samfunnet i verden (og en tidligere president av Royal Society of Edinburgh); en tidligere mester i Trinity College, Cambridge; en ridder og et medlem av den kongelige fortjeneste; og i hovedsak Storbritannias matematiske pave-han er likevel kanskje mest passende beskrevet som en matchmaker. Han har en intuisjon for å ordne bare de riktige intellektuelle sammenhengene, ofte involverer seg selv og sine egne ideer, og i løpet av hans halvtall-pluss karriere har han bro over gapet mellom tilsynelatende ulik ideer innen matematikk og mellom matematikk og fysikk.

En dag i våren 2013, for eksempel, da han satt i Queen's Gallery på Buckingham Palace, venter på den årlige Merit-frokosten med Elizabeth II, gjorde Sir Michael en kamp for sin livslange venn og kollega, Sir Roger Penrose, den store matematisk fysiker.

Penrose hadde forsøkt å utvikle sin "twistor" teori, en vei mot kvantvektighet som har eksistert i nesten 50 år. "Jeg hadde en måte å gjøre det på, som betydde å gå ut til uendelig, " sa Penrose, "og prøver å løse et problem der ute, og deretter komme tilbake igjen." Han trodde det skulle være enklere. Og akkurat da og da satte Atiyah fingeren på den, og antyder at Penrose benytter seg av en type "noncommutative algebra".

"Jeg trodde, " Oh, min Gud, "sa Penrose. "Fordi jeg visste at det var denne noncommutative algebra som hadde sittet der hele tiden i twistteori. Men jeg hadde ikke tenkt på å bruke den på denne spesielle måten. Noen mennesker har kanskje nettopp sagt, 'Det vil ikke fungere.' Men Michael kunne umiddelbart se at det var en måte at du kunne få det til å fungere, og akkurat den rette tingen å gjøre. »Gitt stedet hvor Atiyah gjorde forslaget, kalte Penrose sin forbedrede ide" palatial twistor teori ".

Michael Atiyah, senter, mottar 1966 Fields Medal i Moskva.
Hilsen av Michael Atiyah

Dette er kraften til Atiyah. Grovt sagt har han tilbrakt den første halvdelen av karrieren som forbinder matematikk til matematikk, og andre halvdel forbinder matematikk til fysikk.

Atiyah er best kjent for "indeksetormen", designet i 1963 med Isadore Singer fra Massachusetts Institute of Technology (og riktig kalt Atiyah-Singer index-teoremet), forbinder analyse og topologi - en grunnleggende forbindelse som viste seg å være viktig i begge matematiske felt, og senere i fysikk også. I stor grad for dette arbeidet vant Atiyah Fields Medal i 1966 og Abel-prisen i 2004 (med sanger).

På 1980-tallet spilte metoder hentet fra indekssteorien uventet en rolle i utviklingen av strengteori - et forsøk på å forene storskala riket av generell relativitet og tyngdekraften med den lille skalaen av kvantemekanikk-spesielt med arbeidet med Edward Witten, en strengteoretiker ved Institutt for avansert studie i Princeton, NJ Witten og Atiyah, begynte et utvidet samarbeid, og i 1990 vant Witten Fields Medaljen, den eneste fysikeren som noensinne har vunnet prisen, med Atiyah som sin mester.

Nå, i ålder 86, er Atiyah knapt å senke baren. Han håndterer fortsatt de store spørsmålene, og prøver fortsatt å orkestrere en union mellom kvant- og tyngdekraften. På denne forsiden kommer ideene raskt og rasende, men som Atiyah selv beskriver, er de ennå intuitive, fantasifulle, vage og klumpete varer.

Likevel, han relishing denne tilstanden av fri flytende kreativitet, energized av hans pakket tidsplan. I forfølgelsen av disse nåværende undersøkelsesrørene og i etterkant av desember, leverte han i desember en dobbel topptekst av forelesninger, tilbake til rygg samme dag, ved Universitetet i Edinburgh, hvor han har vært æres professor siden 1997. Han er ivrig etter å dele sine nye ideer, og han håper å tiltrekke seg tilhengere. Til dette formål arrangerte han i november en konferanse ved Royal Society of Edinburgh om "The Beauty of Beauty." Quanta Magazine satte seg sammen med Atiyah ved Royal Society samlingen og etterpå, hver gang han trakk seg lang nok til å stille spørsmål. Det som følger er en redigert versjon av disse catch-as-catch-kan-samtalene.

QUANTA MAGAZINE: Hvor sporer du begynnelsen av din interesse for skjønnhet og vitenskap?
MICHAEL ATIYAH: Jeg ble født for 86 år siden. Det var da interessen min startet. Jeg ble oppfattet i Firenze. Mine foreldre skulle nevne meg Michelangelo, men noen sa, "Det er et stort navn for en liten gutt." Det ville vært en katastrofe. Jeg kan ikke tegne. Jeg har ikke noe talent i det hele tatt.

Du nevnte at noe "klikket" under Roger Penrosos foredrag om "Kunstrollen i matematikk" og at du nå har en ide for et samarbeidspapir. Hva er denne klikkingen, prosessen eller staten - kan du beskrive den?
Det er den typen ting som når du har sett det, sannheten eller sannheten, det bare stirrer deg i ansiktet. Sannheten ser tilbake på deg. Du trenger ikke å lete etter det. Det skinner på siden.

Er det generelt hvordan dine ideer kommer?
Dette var en spektakulær versjon. Den galte delen av matematikk er når en idé kommer opp i hodet ditt. Vanligvis når du sover, fordi det er når du har de minste hemningene. Ideen flyter inn fra himmelen vet hvor. Det flyter rundt i himmelen; du ser på det, og beundrer farger. Det er bare der. Og da på et tidspunkt, når du prøver å fryse det, legg det inn i en solid ramme, eller gjør den til virkelighet, så forsvinner den, den er borte. Men det er blitt erstattet av en struktur, fange visse aspekter, men det er en klumpete fortolkning.

Har du alltid hatt matematiske drømmer?
Jeg tror det. Drømmer skjer om dagen, de skjer om natten. Du kan kalle dem en visjon eller intuisjon. Men i utgangspunktet er de en sinnstilstand uten ord, bilder, formler eller uttalelser. Det er "pre" alt det. Det er pre-Plato. Det er en veldig primordial følelse. Og igjen, hvis du prøver å forstå det, dør den alltid. Så når du våkner om morgenen, drar noen vage rester, spøkelsen til en ide. Du prøver å huske hva det var, og du får bare halvparten av det riktig, og kanskje det er det beste du kan gjøre.

Er fantasi en del av det?
Absolutt. Tidsreise i fantasien er billig og enkel - du trenger ikke engang å kjøpe en billett. Folk går tilbake og forestiller seg at de er en del av Big Bang, og så spør de spørsmålet om hva som kom før.

Et bilde av Michael Atiyah og Isadore Singer sitter på toppen av Atiyahs skrivebord ved University of Edinburgh.
Philipp Ammon for Quanta Magazine

Hva styrer fantasien-skjønnheten?
Det er ikke den slags skjønnhet du kan peke på - det er skjønnhet i mye mer abstrakt forstand.

Ikke for lenge siden publiserte du en studie med Semir Zeki, en neurobiolog ved University College London og andre samarbeidspartnere, på The Experience of Mathematical Beauty og dets nevrale korrelater .
Det er den mest leste artikkelen jeg noensinne har skrevet! Det har lenge vært kjent at en del av hjernen lyser når du hører på fin musikk, eller les fin poesi, eller se på fine bilder - og alle disse reaksjonene skjer på samme sted [den "følelsesmessige hjernen" spesielt den mediale orbitofrontale cortexen]. Og spørsmålet var: Er forståelsen av matematisk skjønnhet det samme, eller er det annerledes? Og konklusjonen var, det er det samme. Den samme delen av hjernen som setter pris på skjønnhet i musikk, kunst og poesi, er også involvert i forståelsen av matematisk skjønnhet. Og det var en stor oppdagelse.

Du nådde denne konklusjonen ved å vise matematikere ulike ligninger mens en funksjonell MR registrerte deres respons. Hvilken ligning vunnet som vakreste?
Ah, den mest berømte av alt, Eulers likning:

e + 1 = 0

Det innebærer π; den matematiske konstanten e [Euler's nummer, 2.71828 ...]; jeg, den imaginære enheten; 1; og 0 - det kombinerer alle de viktigste tingene i matematikk i en formel, og den formelen er egentlig ganske dyp. Så alle var enige om at det var den vakreste ligningen. Jeg pleide å si at det var den matematiske motsvarigheten til Hamlets uttrykk "Å være, eller ikke være" - veldig kort, veldig kortfattet, men samtidig veldig dyp. Eulers likning bruker bare fem symboler, men det innkapsler også vakkert dype ideer, og korthet er en viktig del av skjønnheten.

Du er spesielt kjent for to overordentlig vakre verker, ikke bare indekssetningen, men også K- teorien, utviklet med tysk topolog Friedrich Hirzebruch. Fortell meg om K- teory.
Indeksetormen og K- teorien er faktisk to sider av samme mynt. De startet annerledes, men etter en stund ble de så smeltete sammen at du ikke kunne disentangle dem. De er både relatert til fysikk, men på forskjellige måter.

K- teorien er studien av flatt plass, og av flatt plass som beveger seg rundt. For eksempel, la oss ta en sfære, jorden, og la oss ta en stor bok og sette den på jorden og flytte den rundt. Det er et flatt stykke geometri som beveger seg rundt på en buet geometri. K- teorien studerer alle aspekter av den situasjonen-topologi og geometri. Den har sine røtter i vår navigasjon av jorden.

Kartene vi brukte til å utforske Jorden kan også brukes til å utforske både det store universet, gå ut i rommet med raketter og det lille universet, studere atomer og molekyler. Det jeg gjør nå, prøver å forene alt det, og K- teorien er den naturlige måten å gjøre det på. Vi har gjort denne typen kartlegging i hundrevis av år, og vi vil nok gjøre det for tusenvis flere.

Forundret det deg på at K- teorien og indekssetningen viste seg å være viktig i fysikken?
Å ja. Jeg gjorde all denne geometrien uten å ha noen oppfatning at det ville være knyttet til fysikk. Det var en stor overraskelse da folk sa: "Vel, det du gjør er knyttet til fysikk." Og så lærte jeg fysikk raskt og snakket med gode fysikere for å finne ut hva som skjedde.

Atiyah, senter, delte Abelprisen med Singer, igjen, i 2004.
Hilsen av Michael Atiyah

Hvordan kom samarbeidet med Witten?
Jeg møtte ham i Boston i 1977, da jeg ble interessert i sammenhengen mellom fysikk og matematikk. Jeg deltok på et møte, og det var denne unge kjeppen med de eldre gutta. Vi begynte å snakke, og etter noen minutter innså jeg at den yngre fyren var mye smartere enn de gamle gutta. Han forsto all matematikken jeg snakket om, så jeg begynte å legge merke til ham. Det var Witten. Og jeg har holdt kontakten med ham helt siden.

Hva var han som å jobbe med?
I 2001 inviterte han meg til Caltech, hvor han var gjesteprofessor. Jeg følte meg som en nyutdannet student igjen. Hver morgen ville jeg gå inn i avdelingen, jeg ville gå og se Witten, og vi ville snakke om en time eller så. Han ville gi meg leksene mine. Jeg ville gå bort og tilbringe de neste 23 timene prøver å fange opp. I mellomtiden ville han gå av og gjøre et halvt dusin andre ting. Vi hadde et veldig intens samarbeid. Det var en utrolig opplevelse fordi det var som å jobbe med en strålende veileder. Jeg mener han kjente alle svarene før jeg fikk dem. Hvis vi noen gang hevdet, hadde han rett, og jeg tok feil. Det var pinlig!

Du har tidligere sagt at de uventede sammenkoblingene som dukker opp i mellomtiden mellom matte og fysikk, er det som appellerer til deg mest, du liker å finne deg selv å vade inn i ukjent territorium.
Ikke sant; Vel, du ser, mye matematikk er forutsigbar. Noen viser deg hvordan du løser ett problem, og du gjør det samme igjen. Hver gang du tar et skritt fremover følger du trinnene til personen som kom før. Noen ganger kommer noen sammen med en helt ny idé og rister alle sammen. Til å begynne med tror folk ikke på det, og når de tror det, fører det til en helt ny retning. Matematikk kommer i passer og starter. Den har kontinuerlig utvikling, og da har den diskontinuerlige hopp, når plutselig noen har en ny ide. Det er de ideene som virkelig betyr noe. Når du får dem, har de store konsekvenser. Vi handler om på grunn av en annen. Einstein hadde en god ide for 100 år siden, og vi trenger en annen til å ta oss fremover.

Men tilnærmingen må være mer undersøkende enn direktiv. Hvis du prøver å lede vitenskapen, får du bare folk i retningen du fortalte dem å gå. All vitenskap kommer fra folk som merker interessante sidestier. Du må ha en veldig fleksibel tilnærming til leting og tillate forskjellige mennesker å prøve forskjellige ting. Det er vanskelig, for med mindre du hopper på bandwagon, får du ikke en jobb.

Bekymret for fremtiden, må du holde deg i kø. Det er det verste med moderne vitenskap. Heldigvis, når du kommer til min alder, trenger du ikke å bry deg om det. Jeg kan si hva jeg liker.

I dag prøver du noen nye ideer i håp om å bryte dødvannet i fysikk?
Vel, du ser, det er atomfysikk-elektroner og protoner og nøytroner, alle de ting som er dannet av atomer. På disse svært, veldig små skalaer er fysikkens lover det samme, men det er også en kraft du ignorerer, som er gravitasjonskraften. Gravity er tilstede overalt fordi den kommer fra hele universets masse. Det avbryter ikke seg selv, det har ikke positiv eller negativ verdi, alt legger til. Så langt unna er de svarte hullene og galakserne, de utøver en svært liten kraft overalt i universet, selv i en elektron eller proton. Men fysikere sier, "Ah, ja, men det er så lite at du kan ignorere det; vi måler ikke ting som er små, vi gjør det helt bra uten det. "Mitt utgangspunkt er at det er en feil. Hvis du retter feilen, får du en teori som er mye bedre.

Jeg ser nå igjen på noen av ideene som var rundt 100 år siden, og det ble kassert på den tiden fordi folk ikke kunne forstå hva ideene prøvde å få på. Hvordan virker interaksjon med tyngdekraften? Einsteins teori var at hvis du legger litt i saken, endrer det krumningen i rommet. Og når krumningen i rommet endres, virker det på saken. Det er en svært komplisert tilbakemelding mekanisme.

Jeg går tilbake til Einstein og [Paul] Dirac og ser på dem igjen med nye øyne, og jeg tror jeg ser ting som folk savnet. Jeg fyller i historiens hull og tar hensyn til nye funn. Arkeologer graver opp ting, eller historikere finner et nytt manuskript, og det gir et helt nytt lys. Så det er det jeg har gjort. Ikke ved å gå inn i biblioteker, men ved å sitte i rommet mitt hjemme, tenker. Hvis du tenker lenge nok, får du en god ide.

Så du sier at gravitasjonskraften ikke kan ignoreres?
Jeg tror alle vanskelighetsfysikere har hatt, kommer fra å ignorere det. Du bør ikke ignorere det. Og poenget er at jeg tror at matematikken blir forenklet hvis du matretter den inn. Hvis du lar det ut, gjør du det vanskeligere for deg selv.

De fleste ville si at du ikke trenger å bekymre deg for gravitasjon når du ser på atomfysikk. Skalaen er så liten at for den slags beregninger vi gjør, kan den ignoreres. På en måte, hvis du bare vil ha svar, er det riktig. Men hvis du vil ha forståelse, så har du gjort en feil i det valget.

Hvis jeg tar feil, har jeg gjort en feil. Men jeg tror ikke det. Fordi når du velger denne ideen, er det mange gode konsekvenser. Matematikken passer sammen. Fysikken passer sammen. Filosofien passer sammen.

Hva tenker Witten på dine nye ideer?
Vel, det er en utfordring. Fordi da jeg snakket med ham tidligere om noen av mine ideer, avviste han dem som håpløse, og han ga meg 10 forskjellige grunner til at de er håpløse. Nå tror jeg jeg kan forsvare bakken min. Jeg har brukt mye tid på å tenke, komme på det fra forskjellige vinkler og komme tilbake til det. Og jeg håper jeg kan overtale ham at det er fordel for min nye tilnærming.

Du risikerer omdømmet ditt, men du tror det er verdt det.
Mitt rykte er etablert som matematiker. Hvis jeg gjør et rot av det nå, vil folk si: "Ok, han var en god matematiker, men i slutten av livet mistet han marmorene sine."

En venn av meg, John Polkinghorne, forlot fysikken akkurat som jeg gikk inn; Han gikk inn i kirken og ble teolog. Vi hadde en diskusjon på 80-årsdagen min, og han sa til meg: "Du har ingenting å tape; du bare gå videre og tenk hva du synes. "Og det er det jeg har gjort. Jeg har alle medaljer jeg trenger. Hva kan jeg tape? Derfor er jeg forberedt på å ta en gamble som en ung forsker ikke ville være villig til å ta.

Er du overrasket over å være så opptatt av nye ideer på dette stadiet av karrieren din?
En av mine sønner sa til meg: "Umulig, pappa. Matematikere gjør alt sitt beste arbeid når de er 40. Og du er over 80. Det er umulig for deg å ha en god ide nå. "

Hvis du fortsatt er våken og våken mentalt når du er over 80, har du den fordelen at du har levd lenge, og du har sett mange ting, og du får perspektiv. Jeg er 86 nå, og det er de siste årene jeg har hatt disse ideene. Nye ideer kommer med og du henter biter her og der, og tiden er moden nå, mens den kanskje ikke har vært moden for fem eller ti år siden.

Er det et stort spørsmål som alltid har guidet deg?
Jeg vil alltid prøve å forstå hvorfor ting fungerer. Jeg er ikke interessert i å få en formel uten å vite hva det betyr. Jeg prøver alltid å grave bak kulissene, så hvis jeg har en formel, forstår jeg hvorfor det er der. Og forståelse er et veldig vanskelig begrep.

Folk tror matematikk begynner når du skriver ned en teori etterfulgt av et bevis. Det er ikke begynnelsen, det er slutten. For meg kommer det kreative stedet i matematikk før du begynner å sette ting på papir, før du prøver å skrive en formel. Du bilde forskjellige ting, du slår dem over i tankene dine. Du prøver å lage, akkurat som en musiker prøver å lage musikk eller en dikter. Det er ingen regler fastsatt. Du må gjøre det på din egen måte. Men til slutt, akkurat som en komponist må sette den på papir, må du skrive ting ned. Men det viktigste stadiet er forståelse. Et bevis i seg selv gir deg ikke forståelse. Du kan ha et langt bevis og ingen anelse på slutten av hvorfor det fungerer. Men for å forstå hvorfor det virker, må du ha en slags tarmreaksjon på tingen. Du må føle det.

Reprinted med tillatelse fra Quanta Magazine , en redaksjonelt uavhengig publikasjon av Simons Foundation, som har til formål å styrke den offentlige forståelsen av vitenskapen ved å dekke forskningsprosesser og trender innen matematikk og fysikk og biovitenskap.