FoodPro Preloader

Kommer Infinity i forskjellige størrelser?


I 1995-filmen Toy Story , gir gung-ho-romaksjonsfiguret Buzz Lightyear utilsiktet sin fangstfras: "Til uendelighet ... og utover!" Vitsen er selvfølgelig forankret i den helt fornuftige antakelsen om at uendelig er den uovertruffen absolutt -Det er ingen utover. Den antakelsen er imidlertid ikke helt lydig.

I 1995-filmen Toy Story, gir gung-ho-romaksjonsfiguret Buzz Lightyear utilsiktet sin fangstfras: "Til uendelighet ... og utover!" Vitsen er selvfølgelig forankret i den helt fornuftige antakelsen om at uendelig er den uovertruffen absolutt -Det er ingen utover. Den antakelsen er imidlertid ikke helt lydig. Som tysk matematiker Georg Cantor demonstrerte i slutten av 1800-tallet eksisterer en rekke uendigheter, og de kan klassifiseres etter deres relative størrelser.

Naturlig logikk

Ta for eksempel de såkalte naturlige tallene: 1, 2, 3, og så videre. Disse tallene er ubundet, og dermed er samlingen eller settet av alle de naturlige tallene uendelig i størrelse. Men hvor uendelig er det? Cantor brukte et elegant argument for å vise at naturalene, men uendelig mange, faktisk er mindre talrige enn en annen vanlig familie av tall: de reelle tallene. Dette settet består av alle tall som kan representeres som desimal, selv om den desimale representasjonen er uendelig i lengden. Derfor er pi (3.14159 ...) et reelt tall, som det er 27 (som er både naturlig og ekte).

Cantors argument brukte logikken til motsigelse: han antok først at disse settene er i samme størrelse; neste fulgte han en rekke logiske trinn for å finne en feil som ville undergrave den antakelsen. Han begrunnet at hvis naturals og reals har like mange medlemmer, så kan de to settene legges i en en-til-en korrespondanse. Det vil si at de kan sammenkobles slik at hvert element i hvert sett har en og bare en "partner" i det andre settet.

Tenk på det på denne måten: Selv i fravær av numerisk telling, kan en til én-korrespondanser brukes til å måle relative mengder. Tenk deg to kasser av ukjente størrelser, en av epler og en av appelsiner. Ved å trekke ut ett eple og en appelsin om gangen, samarbeider de to i apple-oransje par. Hvis innholdet i de to kasser tømmes samtidig, inneholder de to boksene et like antall frukter; Hvis en kasse er utmattet før den andre, er den med gjenværende mat mer rikelig.

Crafty Math

Cantor begynte således ved å anta at naturals og reals er i en slik korrespondanse. Følgelig har hvert naturlig tall n en ekte partner r n . Reals kan deretter bli oppført i samsvar med deres tilsvarende naturals: r 1, r 2, r 3 og så videre.

Så kommer Cantor's wily side ut. Han opprettet et ekte tall, kalt p, ved følgende regel: la sifferet n plassere etter desimalpunktet i p annet enn sifferet i samme desimal i r n . En enkel metode ville være: Velg 3 når sifferet i spørsmålet er 4; ellers velger du 4.

For demonstrasjons skyld, si at ekteparter for det naturlige nummer 1 er 27 (eller 27.00000 ...), paret for 2 er pi (3.14159 ...) og det for 3 er president George W. Bushs andel av populær stemme i 2000 (0.47868 ...). Opprett nå følgende Cantors konstruksjon: sifferet i første desimal av p bør ikke være lik den første decimaltallet av r 1 (27), som er 0. Derfor velger du 4, og p begynner 0, 4 ... . (Tallet før desimaltallet kan være noe; 0 brukes her for enkelhet.) Velg deretter sifferet i andre desimal p slik at det ikke er det samme som i andre desimal av r 2 (pi), som er 4. Velg 3, og nå p = 0, 43 .... Til slutt velger du sifferet i tredje desimal p, slik at det ikke er lik det i det tilsvarende desimaltallet av r 3 (President Bushs prosentandel), som er 8. Skriv 4 igjen, gjør p = 0.434 .... Dermed har du:

Denne matematiske metoden (kalt diagonalisering), fortsetter uendelig nedover listen, genererer et reelt tall ( p ) som, ifølge reglene for konstruksjonen, avviker fra alle reelle tall på listen i minst ett desimal. Ergo, det kan ikke være på listen.

Med andre ord, for noen sammenkobling av naturals og reals, eksisterer det et reelt tall p uten en naturlig nummerpartner-et eple uten oransje. Derfor mislykkes en hvilken som helst en-til-en korrespondanse mellom reals og naturals, noe som betyr at uendeligen av ekte tall er en eller annen måte større enn uendeligen av naturlige tall.

Denne artikkelen ble opprinnelig utgitt med tittelen "Er Infinity Come In Different Sizes?" in298, 1, 112 (januar 2008)

OM AUTOREN (S)

John Matson er en kopi redaktør på .

Siste nytt

Kilde for novel fugleinfluensa utbrud bestilt urentMaterialet forblir: Den evige utfordringen av søppelGolfbane som naturreservat: et sted for tiger og amfibierGiant Waves ødelegger raskt arktiske is og økosystemerGravity Measurements Bekreft Grønlands Glacier Precipitous MeltdownAmerikanske klimatdiplomater får fornyet sjanse til å finne felles jord med allierteFå feilene av genetisk modifiserte avlingerOverflodserfaring øker klimaendring