Sirkulær begrunnelse: Finne Pi


Kan du avdekke en nyttig matematisk formel med bare noen få husholdningsobjekter og noe bånd? Det er lettere enn du tror. Faktisk ville vi satse et stykke pi som du kan! Nøkkelkonsepter Circles Omkrets Diameter Matematisk formel Pi Introduksjon Matematikere blir begeistret over oppdagelsen av matematiske forhold. D

Kan du avdekke en nyttig matematisk formel med bare noen få husholdningsobjekter og noe bånd? Det er lettere enn du tror. Faktisk ville vi satse et stykke pi som du kan!

Nøkkelkonsepter
Circles
Omkrets
Diameter
Matematisk formel
Pi

Introduksjon
Matematikere blir begeistret over oppdagelsen av matematiske forhold. De ser på verden rundt dem når det gjelder tall, formler og ligninger. Matematikk er også morsomt og praktisk. Det kommer til nytte når du beregner hvor lenge du trenger å spare penger før du kan kjøpe et nytt spill. Du bruker matematikk til å doble eller tredoble en oppskrift eller å beregne hvor sent du kan forlate huset ditt og fortsatt komme til skolen i tide også.

Du kan også bruke den til å forutsi størrelsen på ting - på en side eller i den virkelige verden. I denne vitenskapsaktiviteten vil du undersøke sirkulære objekter og se hvilke relasjoner du kan oppdage om deres størrelser. Du vil undersøke om omkretsen av en sirkel er relatert på en bestemt måte til dens diameter. Når du undersøker forholdet, kan du bli overrasket over hvor nyttige resultatene kan være; kanskje det vil inspirere deg til å spare på en større sykkel!

Bakgrunn
Visste du at folk har studert matematikk i tusenvis av år? Mange matematiske termer vi bruker i dag kommer fra gresk og latin, noe som avslører opprinnelsen til noen av de gamle lærde som jobbet med disse problemene. Ordet omkrets kommer for eksempel fra de latinske ordene rundt (som betyr rundt) og ferre (å bære). Det kan referere til linjen som grenser til sirkelen, samt til lengden på den linjen. Ordet diameter er avledet fra de greske ordene dia (over) og metron (måling). Det refererer til en rett linje som starter ved et punkt på omkretsen, går gjennom sirkelens senter og slutter på den andre siden av sirkelen. Det kan også referere til lengden på denne linjen. Matematikere har vist at diameteren også er den lengste avstanden over sirkelen .

Nok terminologi! Det er på tide å begynne å utforske.

materialer

  • Minst fire sirkulære gjenstander av forskjellige størrelser (For eksempel kan du bruke en stor mynt, rund beholderlokk, stort beholderlokk og et sykkelhjul.)
  • En stor rulle av garn eller bånd som du kan kutte i små biter
  • Saks (En voksen skal hjelpe deg med å bruke dem.)
  • Tape, for eksempel maskebånd (valgfritt)

Forberedelse

  • Monter alle objektene dine i ett område slik at de er i umiddelbar nærhet.
  • Start leting med en mellomstore sirkel, for eksempel et yoghurtbeholderlokk. I de neste par trinnene vil du kutte tverrsnitt (eller bånd) som har lengden på omkretsen og diameteren til denne sirkelen. Når du har disse bitene klare, kan du begynne å utforske om disse relaterer seg på en bestemt måte. Du vil gjenta prosedyren for forskjellige sirkler i håp om å oppdage at diameteren og omkretsen av alle eksemplene dine er knyttet til hverandre på samme måte.

Fremgangsmåte

  • For å lage et stykke tvilling lengden på omkretsen (linjen grenser til sirkelen) av det første sirkulære objektet, hold enden av et stykke tvilling med tommelen på et punkt på kanten av det sirkulære objektet.
  • Vreng garnet nøyaktig en gang rundt objektet, og kutt garnet der den pakkede garnet møter sitt utgangspunkt. For å gjøre dette litt lettere, kan du midlertidig feste begynnelsen på garnet til det sirkulære objektet med tape, og deretter kutte og kutte garnet til det båndstykket. Kan du se at lengden på ditt stykke tvilling er akkurat lengden på omkretsen av ditt sirkulære objekt?
  • For å måle diameteren trenger du lengden på en rett linje som starter ved et punkt på omkretsen, går gjennom sirkelens senter og slutter på den andre siden. Fordi det ikke er lett å finne en sirkel senter, vil du bruke et matematisk faktum om sirkler, som sier at diameteren er også den lengste avstanden over en sirkel. For å lage et stykke garn med lengste lengde over sirkelen, bruk tommelen til å holde enden av et nytt stykke garn (eller bånd) på et punkt på kanten av mellomstore sirkelobjektet.
  • Span en rett linje av denne garnet over sirkelen til et annet punkt på omkretsen av sirkelen. Flytt nå det andre punktet langs omkretsen til venstre og høyre. Gjør dette til du finner det lengste, rakte, spannede stykket som er mulig. Når du beveger enden av garnet vekk fra dette punktet, blir det spenne stykket kortere igjen. Klipp av garnet hvor det var lengst å få et mål på diameteren til denne sirkelen. Har du observert at din spannede garn gikk gjennom sirkelens senter?
  • Nå har du alt du trenger for å begynne å utforske. Hvilken avstand er lengre - diameteren eller omkretsen? Er det lengre med mye eller litt?
  • Hvis du bretter den lengre delen av tvilling i halv, passer den til lengden på det andre stykket? I så fall vil dette bety at lengre brikke er dobbelt så lang som kortere brikke. Hvis du ikke fant en god passform ved å legge sammen det lengre stykket i to, hva om du bretter det i tre eller fire eller fem? Får du en nøyaktig eller omtrentlig passform? Hvordan ville du oversette funnene dine i ord som "dobbelt så lenge" eller "tre ganger så lenge"?
  • Prøv aktiviteten igjen med et annerledes sirkulært objekt. Forventer du at det samme forholdet mellom omkrets og diameter lengde skal være gyldig for sirkel med forskjellig størrelse?
  • Gjenta omkrets- og diameterfunnet til du har utforsket en liten, middels, stor og veldig stor sirkel. Kan du finne et forhold som er gyldig for alle testede sirkler? Er det et eksakt eller omtrentlig forhold? Hvis du fant et forhold, tror du at du har nok data til å konkludere med at forholdet ditt er gyldig for alle sirkler?
  • Ekstra: Se deg rundt i huset for å finne noen sirkulære gjenstander og ta et estimat av lengden på diameteren og omkretsen av disse objektene. Hvilken var lettere å anslå for deg, diameteren eller omkretsen? Hvilken ville være lettere å måle med en linjal?
  • Ekstra : Hvis du fant et omtrentlig forhold mellom omkrets og diameter, hvordan kan du gjøre det mer nøyaktig? Tips: Du kan bruke en linjal til å måle lengden på dine tvillingstykker og gjøre litt matte. (For eksempel, prøv å dele en omkrets med tilhørende diameter, prøv igjen med hver sirkel. Får du et tilsvarende tall hver gang - uansett om sirkelstørrelsen var den samme? )
  • Ekstra : En real-world-applikasjon av dette prinsippet er når du beregner avstanden i forskjellige størrelser på hjul. For å undersøke forholdet mellom avstanden som er reist på bakken og hjulets størrelse, merk et sted på omkretsen av et hjul (som et sykkelhjul) med tape. Plasser dette stedet på bakken og angi dette stedet på bakken med tape eller kritt. Rull hjulet langs en rett linje til det samme punktet på omkretsen berører bakken igjen. Merk denne plasseringen på bakken med tape eller kritt. Sammenligne nå avstanden mellom de to merkede stedene på bakken med lengden på diameteren og omkretsen av hjulet. Kan du finne et forhold? Hva betyr dette for antall rotasjoner et større eller mindre hjul må kanskje kjøre samme avstand?
  • Ekstra: Nå som du kjenner forholdet mellom diameteren og omkretsen - og kanskje til og med avstanden reiste - kan du se praktiske måter der dette forholdet kan være nyttig?


Observasjoner og resultater
Hvis alt gikk bra, burde du ha oppdaget at omkretsen var litt mer enn tre ganger diameteren av sirkelen for hver sirkel, uansett hvor liten eller stor sirkelen var.

Hvis du kunne jobbe mer nøyaktig, har du kanskje funnet at det ikke var akkurat tre ganger, men heller tre og en syvende diameteren. Og selv det er ikke nøyaktig.

Matematikere fant at forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel er konstant, noe som betyr at det er det samme for alle sirkler, uansett hvor stor eller liten sirklene er. De oppdaget likevel at dette forholdet er et tall som aldri kan bestemmes nøyaktig. Siden midten av 1800-tallet er dette forholdet blitt referert til med gresk bokstav π (pi), som er et bemerkelsesverdig interessant tall. Det ser ikke bare ut i geometri, men også i annen matematikk som sannsynlighetsteori. Det vises også i den naturlige verden, som i beskrivelsen av bølger - fra de synlige krusninger på vannet til de usynlige bølgene av lys og lyd.

Mer å utforske
Forhistorisk beregning: Oppdage Pi, fra bedre forklart
Beskrive Nature med matematikk, fra NOVA
Snakker Pi og Pie for Pi Day, fra Science Buddies

Denne aktiviteten brakte til deg i samarbeid med Science Buddies